Theorem climge0 11094

Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climrecl.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
5		climrecl.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
6	1, 2, 4, 5	climrecl 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	renegcld 8142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
9	6	lt0neg1d 8277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
10	9	biimpa 294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
11	8, 10	elrpd 9481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12		eqidd 2140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
13	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	1, 3, 11, 12, 13	climi2 11057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
15	1	r19.2uz 10765	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17		simprr 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
18	5	ad2ant2r 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
19	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	absdifltd 10950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
22	17, 21	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
23	22	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
24	19	recnd 7794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	negidd 8063	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
26	23, 25	breqtrd 3954	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹‘𝑘) < 0)
27		climge0.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
28	27	ad2ant2r 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
29		0red 7767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	29, 18	lenltd 7880	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ¬ (𝐹‘𝑘) < 0))
31	28, 30	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹‘𝑘) < 0)
32	26, 31	pm2.21fal 1351	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
33	16, 32	rexlimddv 2554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 0) → ⊥)
34	33	inegd 1350	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35		0re 7766	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		lenlt 7840	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
37	35, 6, 36	sylancr 410	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
38	34, 37	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620   + caddc 7623   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  abscabs 10769   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climle  11103