Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climge0 GIF version

Theorem climge0 10068
 Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecl.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climrecl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 climrecl.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
5 climrecl.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 4, 5climrecl 10067 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
87renegcld 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
96lt0neg1d 7580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
109biimpa 284 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
118, 10elrpd 8717 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12 eqidd 2057 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
134adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐹𝐴)
141, 3, 11, 12, 13climi2 10032 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
151r19.2uz 9812 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
1614, 15syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17 simprr 492 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
185ad2ant2r 486 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
197adantr 265 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
208adantr 265 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
2118, 19, 20absdifltd 9997 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
2217, 21mpbid 139 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
2322simprd 111 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
2419recnd 7112 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524negidd 7374 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2623, 25breqtrd 3815 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < 0)
27 climge0.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2827ad2ant2r 486 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
29 0red 7085 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3029, 18lenltd 7192 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 0))
3128, 30mpbid 139 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹𝑘) < 0)
3226, 31pm2.21fal 1280 . . . 4 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
3316, 32rexlimddv 2454 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ⊥)
3433inegd 1279 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35 0re 7084 . . 3 0 ∈ ℝ
36 lenlt 7152 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3735, 6, 36sylancr 399 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3834, 37mpbird 160 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259  ⊥wfal 1264   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324   class class class wbr 3791  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  ℝcr 6945  0cc0 6946   + caddc 6949   < clt 7118   ≤ cle 7119   − cmin 7244  -cneg 7245  ℤcz 8301  ℤ≥cuz 8568  abscabs 9816   ⇝ cli 10022 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060  ax-caucvg 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9370  df-iexp 9414  df-cj 9663  df-re 9664  df-im 9665  df-rsqrt 9817  df-abs 9818  df-clim 10023 This theorem is referenced by:  climle  10077
 Copyright terms: Public domain W3C validator