ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climge0 GIF version

Theorem climge0 10348
Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
climrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrecl.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climrecl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 climrecl.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐴)
5 climrecl.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 4, 5climrecl 10347 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
87renegcld 7587 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
96lt0neg1d 7719 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
109biimpa 290 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
118, 10elrpd 8888 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
12 eqidd 2084 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
134adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐹𝐴)
141, 3, 11, 12, 13climi2 10312 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
151r19.2uz 10064 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
1614, 15syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → ∃𝑘𝑍 (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
17 simprr 499 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)
185ad2ant2r 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
197adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
208adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
2118, 19, 20absdifltd 10249 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴 ↔ ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))))
2217, 21mpbid 145 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ((𝐴 − -𝐴) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴)))
2322simprd 112 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < (𝐴 + -𝐴))
2419recnd 7245 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524negidd 7512 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2623, 25breqtrd 3830 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (𝐹𝑘) < 0)
27 climge0.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2827ad2ant2r 493 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
29 0red 7218 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3029, 18lenltd 7330 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ ¬ (𝐹𝑘) < 0))
3128, 30mpbid 145 . . . . 5 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ¬ (𝐹𝑘) < 0)
3226, 31pm2.21fal 1305 . . . 4 (((𝜑𝐴 < 0) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < -𝐴)) → ⊥)
3316, 32rexlimddv 2486 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → ⊥)
3433inegd 1304 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 0)
35 0re 7217 . . 3 0 ∈ ℝ
36 lenlt 7290 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3735, 6, 36sylancr 405 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
3834, 37mpbird 165 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wfal 1290  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354   class class class wbr 3806  cfv 4953  (class class class)co 5564  cr 7078  0cc0 7079   + caddc 7082   < clt 7251  cle 7252  cmin 7382  -cneg 7383  cz 8468  cuz 8736  abscabs 10068  cli 10302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-rp 8852  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-clim 10303
This theorem is referenced by:  climle  10357
  Copyright terms: Public domain W3C validator