ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt GIF version

Theorem lenlt 7050
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7027 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 7027 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrlenlt 7040 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 273 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wcel 1393   class class class wbr 3761  cr 6845  *cxr 7015   < clt 7016  cle 7017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-br 3762  df-opab 3816  df-xp 4314  df-cnv 4316  df-xr 7020  df-le 7022
This theorem is referenced by:  letri3  7055  ltleletr  7056  letr  7057  leid  7058  ltle  7061  lelttr  7062  ltletr  7063  lenlti  7074  lenltd  7090  lemul1  7536  msqge0  7559  mulge0  7562  ltleap  7573  recgt0  7768  lediv1  7787  nnge1  7889  nnnlt1  7892  avgle1  8114  avgle2  8115  nn0nlt0  8156  zltnle  8239  zleloe  8240  zdcle  8265  recnz  8281  btwnnz  8282  prime  8285  fznlem  8848  fzonlt0  8966  resqrexlemgt0  9472  climge0  9698
  Copyright terms: Public domain W3C validator