ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt GIF version

Theorem lenlt 7153
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7130 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 7130 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrlenlt 7143 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 277 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409   class class class wbr 3792  cr 6946  *cxr 7118   < clt 7119  cle 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-xr 7123  df-le 7125
This theorem is referenced by:  letri3  7158  ltleletr  7159  letr  7160  leid  7161  ltle  7164  lelttr  7165  ltletr  7166  lenlti  7177  lenltd  7193  lemul1  7658  msqge0  7681  mulge0  7684  ltleap  7695  recgt0  7891  lediv1  7910  nnge1  8013  nnnlt1  8016  avgle1  8222  avgle2  8223  nn0nlt0  8265  zltnle  8348  zleloe  8349  zdcle  8375  recnz  8391  btwnnz  8392  prime  8396  fznlem  9007  fzonlt0  9125  qltnle  9203  bcval4  9620  resqrexlemgt0  9847  climge0  10076
  Copyright terms: Public domain W3C validator