ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decnncl GIF version

Theorem decnncl 8378
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1 𝐴 ∈ ℕ0
decnncl.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
decnncl 𝐴𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 8367 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 10nn0 8204 . . 3 10 ∈ ℕ0
3 decnncl.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decnncl.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
52, 3, 4numnncl 8373 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
61, 5eqeltri 2110 1 𝐴𝐵 ∈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1393  (class class class)co 5512   + caddc 6890   · cmul 6892  cn 7912  10c10 7970  0cn0 8179  cdc 8366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7182  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-5 7974  df-6 7975  df-7 7976  df-8 7977  df-9 7978  df-10 7979  df-n0 8180  df-dec 8367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator