ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im GIF version

Theorem dff3im 5275
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5021 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2 ffun 5011 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
32adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
4 fdm 5013 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
54eleq2d 2107 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝐴))
65biimpar 281 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7 funfvop 5242 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
83, 6, 7syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9 df-br 3762 . . . . . 6 (𝑥𝐹(𝐹𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
108, 9sylibr 137 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹𝑥))
11 funfvex 5155 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
12 breq2 3765 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹(𝐹𝑥)))
1312spcegv 2638 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1411, 13syl 14 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
153, 6, 14syl2anc 391 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1610, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17 funmo 4880 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
182, 17syl 14 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
1918adantr 261 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20 eu5 1947 . . . 4 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2116, 19, 20sylanbrc 394 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2221ralrimiva 2389 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
231, 22jca 290 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wex 1381  wcel 1393  ∃!weu 1900  ∃*wmo 1901  wral 2303  Vcvv 2554  wss 2914  cop 3375   class class class wbr 3761   × cxp 4306  dom cdm 4308  Fun wfun 4859  wf 4861  cfv 4865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-sbc 2762  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-fv 4873
This theorem is referenced by:  dff4im  5276
  Copyright terms: Public domain W3C validator