Theorem distrsrg 6687

Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
distrsrg	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))

Proof of Theorem distrsrg

Dummy variables f g ℎ u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6655	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 6673	. 2 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
3		mulsrpr 6674	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))), ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v)))⟩] ~R )
4		mulsrpr 6674	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
5		mulsrpr 6674	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R )
6		addsrpr 6673	. 2 ⊢ (((((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P) ∧ (((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P ∧ ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)) → ([⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R +R [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R ) = [⟨(((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))), (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))⟩] ~R )
7		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((z ∈ P ∧ v ∈ P) → (z +P v) ∈ P)
8	7	ad2ant2r 478	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (z +P v) ∈ P)
9		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ ((w ∈ P ∧ u ∈ P) → (w +P u) ∈ P)
10	9	ad2ant2l 477	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (w +P u) ∈ P)
11	8, 10	jca 290	. 2 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P))
12		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P) → (x ·P z) ∈ P)
13	12	ad2ant2r 478	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (x ·P z) ∈ P)
14		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P) → (y ·P w) ∈ P)
15	14	ad2ant2l 477	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (y ·P w) ∈ P)
16		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ (((x ·P z) ∈ P ∧ (y ·P w) ∈ P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
17	13, 15, 16	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
18		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P) → (x ·P w) ∈ P)
19	18	ad2ant2rl 480	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (x ·P w) ∈ P)
20		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y ·P z) ∈ P)
21	20	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (y ·P z) ∈ P)
22		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ (((x ·P w) ∈ P ∧ (y ·P z) ∈ P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
23	19, 21, 22	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
24	17, 23	jca 290	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P))
25		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ v ∈ P) → (x ·P v) ∈ P)
26	25	ad2ant2r 478	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P v) ∈ P)
27		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ u ∈ P) → (y ·P u) ∈ P)
28	27	ad2ant2l 477	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P u) ∈ P)
29		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ (((x ·P v) ∈ P ∧ (y ·P u) ∈ P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P)
30	26, 28, 29	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P)
31		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ u ∈ P) → (x ·P u) ∈ P)
32	31	ad2ant2rl 480	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P u) ∈ P)
33		mulclpr 6553	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ v ∈ P) → (y ·P v) ∈ P)
34	33	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P v) ∈ P)
35		addclpr 6520	. . . 4 ⊢ (((x ·P u) ∈ P ∧ (y ·P v) ∈ P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)
36	32, 34, 35	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)
37	30, 36	jca 290	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P ∧ ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P))
38		simp1l 927	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → x ∈ P)
39		simp2l 929	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → z ∈ P)
40		simp3l 931	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → v ∈ P)
41		distrprg 6564	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P ∧ v ∈ P) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v)))
43		simp1r 928	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → y ∈ P)
44		simp2r 930	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → w ∈ P)
45		simp3r 932	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → u ∈ P)
46		distrprg 6564	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u)))
48	42, 47	oveq12d 5473	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))))
49	38, 39, 12	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P z) ∈ P)
50	38, 40, 25	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P v) ∈ P)
51	43, 44, 14	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P w) ∈ P)
52		addcomprg 6554	. . . . 5 ⊢ ((f ∈ P ∧ g ∈ P) → (f +P g) = (g +P f))
53	52	adantl 262	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (f ∈ P ∧ g ∈ P)) → (f +P g) = (g +P f))
54		addassprg 6555	. . . . 5 ⊢ ((f ∈ P ∧ g ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((f +P g) +P ℎ) = (f +P (g +P ℎ)))
55	54	adantl 262	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (f ∈ P ∧ g ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((f +P g) +P ℎ) = (f +P (g +P ℎ)))
56	43, 45, 27	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P u) ∈ P)
57		addclpr 6520	. . . . 5 ⊢ ((f ∈ P ∧ g ∈ P) → (f +P g) ∈ P)
58	57	adantl 262	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) ∧ (f ∈ P ∧ g ∈ P)) → (f +P g) ∈ P)
59	49, 50, 51, 53, 55, 56, 58	caov4d 5627	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
60	48, 59	eqtrd 2069	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))))
61		distrprg 6564	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P ∧ u ∈ P) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
62	38, 44, 45, 61	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u)))
63		distrprg 6564	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P ∧ v ∈ P) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
64	43, 39, 40, 63	syl3anc 1134	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v)))
65	62, 64	oveq12d 5473	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))))
66	38, 44, 18	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P w) ∈ P)
67	38, 45, 31	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (x ·P u) ∈ P)
68	43, 39, 20	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P z) ∈ P)
69	43, 40, 33	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (y ·P v) ∈ P)
70	66, 67, 68, 53, 55, 69, 58	caov4d 5627	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
71	65, 70	eqtrd 2069	. 2 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v))))
72	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 24, 37, 60, 71	ecovidi 6154	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (A ·R (B +R 𝐶)) = ((A ·R B) +R (A ·R 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  Pcnp 6275   +_P cpp 6277   ·_P cmp 6278   ~_R cer 6280  Rcnr 6281   +_R cplr 6285   ·_R cmr 6286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657

This theorem is referenced by:  pn0sr  6699  axmulass  6757  axdistr  6758