ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pn0sr GIF version

Theorem pn0sr 6913
Description: A signed real plus its negative is zero. (Contributed by NM, 14-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
pn0sr (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)

Proof of Theorem pn0sr
StepHypRef Expression
1 m1r 6894 . . . 4 -1RR
2 1sr 6893 . . . 4 1RR
3 distrsrg 6901 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR ∧ 1RR) → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
41, 2, 3mp3an23 1235 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)))
5 m1p1sr 6902 . . . . 5 (-1R +R 1R) = 0R
65oveq2i 5550 . . . 4 (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R)
76a1i 9 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R (-1R +R 1R)) = (𝐴 ·R 0R))
8 mulclsr 6896 . . . . 5 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
91, 8mpan2 409 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 mulclsr 6896 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 1RR) → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
112, 10mpan2 409 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) ∈ R)
12 addcomsrg 6897 . . . 4 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 1R) ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
139, 11, 12syl2anc 397 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R (𝐴 ·R 1R)) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
144, 7, 133eqtr3d 2096 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15 00sr 6911 . 2 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
16 1idsr 6910 . . 3 (𝐴R → (𝐴 ·R 1R) = 𝐴)
1716oveq1d 5554 . 2 (𝐴R → ((𝐴 ·R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
1814, 15, 173eqtr3rd 2097 1 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  Rcnr 6452  0Rc0r 6453  1Rc1r 6454  -1Rcm1r 6455   +R cplr 6456   ·R cmr 6457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-imp 6624  df-enr 6868  df-nr 6869  df-plr 6870  df-mr 6871  df-0r 6873  df-1r 6874  df-m1r 6875
This theorem is referenced by:  negexsr  6914  caucvgsrlemoffval  6937  axrnegex  7010
  Copyright terms: Public domain W3C validator