ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2i GIF version

Theorem en2i 6280
Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
en2i.1 𝐴 ∈ V
en2i.2 𝐵 ∈ V
en2i.3 (𝑥𝐴𝐶 ∈ V)
en2i.4 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
en2i.5 ((𝑥𝐴𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑥 = 𝐷))
Assertion
Ref Expression
en2i 𝐴𝐵
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem en2i
StepHypRef Expression
1 en2i.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
21a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3 en2i.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
43a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝐵 ∈ V)
5 en2i.3 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶 ∈ V)
65a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐴𝐶 ∈ V))
7 en2i.4 . . . 4 (𝑦𝐵𝐷 ∈ V)
87a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑦𝐵𝐷 ∈ V))
9 en2i.5 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑥 = 𝐷))
109a1i 9 . . 3 (⊤ → ((𝑥𝐴𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑥 = 𝐷)))
112, 4, 6, 8, 10en2d 6278 . 2 (⊤ → 𝐴𝐵)
1211trud 1268 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wtru 1260  wcel 1409  Vcvv 2574   class class class wbr 3791  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-en 6252
This theorem is referenced by:  xpsnen  6325  xpassen  6334
  Copyright terms: Public domain W3C validator