Theorem expaddzaplem 8952

Description: Lemma for expaddzap 8953. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expaddzaplem	⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑𝑀) · (A↑𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 927	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
2		simp3 905	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 8927	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 930	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 8011	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7		expcl 8927	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 928	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → A # 0)
10	5	nnzd 8135	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expap0i 8941	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (A↑-𝑀) # 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1134	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-𝑀) # 0)
13	4, 8, 12	divrecap2d 7551	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)) = ((1 / (A↑-𝑀)) · (A↑𝑁)))
14		simp2l 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 7109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 8024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2112	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 8134	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 8140	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclzap 8934	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑-𝑀) # 0)
27	24, 25, 26	divcanap4d 7553	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) / (A↑-𝑀)) = (A↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
29		simpr 103	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
30	6	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
31		expadd 8951	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)))
33	21	zcnd 8137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 7124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 8013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 7120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (A↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2071	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) = (A↑𝑁))
41	40	oveq1d 5470	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((A↑(𝑀 + 𝑁)) · (A↑-𝑀)) / (A↑-𝑀)) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2071	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
43	1	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
44	9	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → A # 0)
45	33	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
46		simpr 103	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
47		expineg2 8918	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1135	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))))
49	21	znegcld 8138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
50		expclzap 8934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	1, 9, 49, 50	syl3anc 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	51	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
53	4	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑𝑁) ∈ ℂ)
54		expap0i 8941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ A # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (A↑𝑁) # 0)
55	1, 9, 20, 54	syl3anc 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑𝑁) # 0)
56	55	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑𝑁) # 0)
57	52, 53, 56	divcanap4d 7553	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A↑𝑁)) / (A↑𝑁)) = (A↑-(𝑀 + 𝑁)))
58	2	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		expadd 8951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A↑𝑁)))
60	43, 46, 58, 59	syl3anc 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A↑𝑁)))
61	15, 35	negdi2d 7132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
62	61	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
63	15	negcld 7105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
64	63, 35	npcand 7122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	62, 64	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
67	66	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (A↑-𝑀))
68	60, 67	eqtr3d 2071	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A↑𝑁)) = (A↑-𝑀))
69	68	oveq1d 5470	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((A↑-(𝑀 + 𝑁)) · (A↑𝑁)) / (A↑𝑁)) = ((A↑-𝑀) / (A↑𝑁)))
70	57, 69	eqtr3d 2071	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑-𝑀) / (A↑𝑁)))
71	70	oveq2d 5471	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((A↑-𝑀) / (A↑𝑁))))
72	8, 4, 12, 55	recdivapd 7564	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / ((A↑-𝑀) / (A↑𝑁))) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
73	72	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / ((A↑-𝑀) / (A↑𝑁))) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
74	71, 73	eqtrd 2069	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (A↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
75	48, 74	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
76		elznn0 8036	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
77	76	simprbi 260	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
78	21, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
79	42, 75, 78	mpjaodan 710	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑𝑁) / (A↑-𝑀)))
80		expineg2 8918	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (A↑𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
81	1, 9, 15, 6, 80	syl22anc 1135	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑𝑀) = (1 / (A↑-𝑀)))
82	81	oveq1d 5470	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((A↑𝑀) · (A↑𝑁)) = ((1 / (A↑-𝑀)) · (A↑𝑁)))
83	13, 79, 82	3eqtr4d 2079	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ A # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑀 + 𝑁)) = ((A↑𝑀) · (A↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   − cmin 6979  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433  ℕcn 7695  ℕ₀cn0 7957  ℤcz 8021  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  expaddzap  8953