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Theorem expaddzaplem 9463
Description: Lemma for expaddzap 9464. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzaplem (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expaddzaplem
StepHypRef Expression
1 simp1l 939 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp3 917 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 expcl 9438 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2anc 397 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5 simp2r 942 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
65nnnn0d 8292 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7 expcl 9438 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
81, 6, 7syl2anc 397 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9 simp1r 940 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
105nnzd 8418 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
11 expap0i 9452 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
121, 9, 10, 11syl3anc 1146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
134, 8, 12divrecap2d 7844 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴𝑁)))
14 simp2l 941 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
1514recnd 7113 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
1615negnegd 7376 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 = 𝑀)
17 nnnegz 8305 . . . . . . . . . 10 (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
185, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑀 ∈ ℤ)
1916, 18eqeltrrd 2131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
202nn0zd 8417 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2119, 20zaddcld 8423 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22 expclzap 9445 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
231, 9, 21, 22syl3anc 1146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
2423adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
258adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
2612adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
2724, 25, 26divcanap4d 7846 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
281adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 simpr 107 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
306adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
31 expadd 9462 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1146 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
3321zcnd 8420 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
3433, 15negsubd 7391 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
352nn0cnd 8294 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3615, 35pncan2d 7387 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2088 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3837adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
3938oveq2d 5556 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴𝑁))
4032, 39eqtr3d 2090 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴𝑁))
4140oveq1d 5555 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
4227, 41eqtr3d 2090 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
431adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
449adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
4533adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
46 simpr 107 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
47 expineg2 9429 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
4843, 44, 45, 46, 47syl22anc 1147 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
4921znegcld 8421 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
50 expclzap 9445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
511, 9, 49, 50syl3anc 1146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
5251adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
534adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
54 expap0i 9452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) # 0)
551, 9, 20, 54syl3anc 1146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) # 0)
5655adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) # 0)
5752, 53, 56divcanap4d 7846 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) / (𝐴𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
582adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 expadd 9462 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)))
6043, 46, 58, 59syl3anc 1146 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)))
6115, 35negdi2d 7399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀𝑁))
6261oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀𝑁) + 𝑁))
6315negcld 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
6463, 35npcand 7389 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-𝑀𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6562, 64eqtrd 2088 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6665adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
6766oveq2d 5556 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
6860, 67eqtr3d 2090 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
6968oveq1d 5555 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴𝑁)) / (𝐴𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁)))
7057, 69eqtr3d 2090 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁)))
7170oveq2d 5556 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))))
728, 4, 12, 55recdivapd 7857 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7372adantr 265 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7471, 73eqtrd 2088 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
7548, 74eqtrd 2088 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
76 elznn0 8317 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)))
7776simprbi 264 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
7821, 77syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0))
7942, 75, 78mpjaodan 722 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
80 expineg2 9429 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
811, 9, 15, 6, 80syl22anc 1147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
8281oveq1d 5555 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴𝑁)))
8313, 79, 823eqtr4d 2098 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952  cmin 7245  -cneg 7246   # cap 7646   / cdiv 7725  cn 7990  0cn0 8239  cz 8302  cexp 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-iexp 9420
This theorem is referenced by:  expaddzap  9464
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