Theorem elznn0 9069

Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elznn0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9056	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elnn0 8979	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4		elnn0 8979	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
5		recn 7753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		0cn 7758	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		negcon1 8014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
8	5, 6, 7	sylancl 409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9		neg0 8008	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
10	9	eqeq1i 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ (-0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11		eqcom 2141	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
12	10, 11	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ (-0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
13	8, 12	syl6bb 195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
14	13	orbi2d 779	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
15	4, 14	syl5bb 191	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
16	3, 15	orbi12d 782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
17		3orass 965	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
18		orcom 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0))
19		orordir 763	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
20	17, 18, 19	3bitrri 206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
21	16, 20	syl6rbb 196	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	pm5.32i 449	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
23	1, 22	bitri 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∨ w3o 961   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  -cneg 7934  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936  df-n0 8978  df-z 9055

This theorem is referenced by:  peano2z  9090  zmulcl  9107  elz2  9122  expnegzap  10327  expaddzaplem  10336  odd2np1  11570  bezoutlemzz  11690  bezoutlemaz  11691  bezoutlembz  11692