Theorem f1co 5340

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5128	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ Fun ◡𝐹))
2		df-f1 5128	. . 3 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺))
3		fco 5288	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
4		funco 5163	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ Fun ◡𝐹) → Fun (◡𝐺 ∘ ◡𝐹))
5		cnvco 4724	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
6	5	funeqi 5144	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺) ↔ Fun (◡𝐺 ∘ ◡𝐹))
7	4, 6	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ Fun ◡𝐹) → Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺))
8	7	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ Fun ◡𝐺) → Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺))
9	3, 8	anim12i 336	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) ∧ (Fun ◡𝐹 ∧ Fun ◡𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
10	9	an4s 577	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐺)) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
11	1, 2, 10	syl2anb 289	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
12		df-f1 5128	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶 ↔ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ∧ Fun ◡(𝐹 ∘ 𝐺)))
13	11, 12	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1→𝐶 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴–1-1→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ^◡ccnv 4538   ∘ ccom 4543  Fun wfun 5117  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128

This theorem is referenced by:  f1oco  5390  tposf12  6166  domtr  6679  djudom  6978  difinfsn  6985