ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvimacnvi GIF version

Theorem fvimacnvi 5309
Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
fvimacnvi ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fvimacnvi
StepHypRef Expression
1 snssi 3536 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵))
2 funimass2 5005 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ {𝐴} ⊆ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
31, 2sylan2 274 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
4 cnvimass 4716 . . . . 5 (𝐹𝐵) ⊆ dom 𝐹
54sseli 2969 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 funfvex 5220 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ V)
7 snssg 3528 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
86, 7syl 14 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
95, 8sylan2 274 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵))
10 funfn 4959 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
11 fnsnfv 5260 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1210, 11sylanb 272 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
135, 12sylan2 274 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1413sseq1d 3000 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
159, 14bitrd 181 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
163, 15mpbird 160 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  wss 2945  {csn 3403  ccnv 4372  dom cdm 4373  cima 4376  Fun wfun 4924   Fn wfn 4925  cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  fvimacnv  5310  elpreima  5314
  Copyright terms: Public domain W3C validator