Theorem fzsubel 9840

Description: Membership of a difference in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzsubel	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Proof of Theorem fzsubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9085	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
2		fzaddel 9839	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
3	1, 2	sylanr2 402	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))))
4		zcn 9059	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zcn 9059	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	4, 5	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
7		zcn 9059	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ)
8		zcn 9059	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	7, 8	anim12i 336	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
10		negsub 8010	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
11	10	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → (𝐽 + -𝐾) = (𝐽 − 𝐾))
12		negsub 8010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
13		negsub 8010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
14	12, 13	oveqan12d 5793	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
15	14	anandirs 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
16	15	adantrl 469	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
17	11, 16	eleq12d 2210	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
18	6, 9, 17	syl2an 287	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + -𝐾) ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))
19	3, 18	bitrd 187	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   + caddc 7623   − cmin 7933  -cneg 7934  ℤcz 9054  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  elfzp1b  9877  elfzm1b  9878  fisum0diag2  11216