ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccneg GIF version

Theorem iccneg 8957
Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 7334 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
2 ax-1 5 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → (-𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
31, 2impbid2 135 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
433ad2ant3 938 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
5 ancom 257 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
6 leneg 7533 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
76ancoms 259 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
873adant1 933 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
9 leneg 7533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
1093adant2 934 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
118, 10anbi12d 450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
125, 11syl5bbr 187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
134, 12anbi12d 450 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
14 elicc2 8907 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
15143adant3 935 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
16 3anass 900 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
1715, 16syl6bb 189 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵))))
18 renegcl 7334 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
19 renegcl 7334 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
20 elicc2 8907 . . . . 5 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2118, 19, 20syl2anr 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
22213adant3 935 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
23 3anass 900 . . 3 ((-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2422, 23syl6bb 189 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
2513, 17, 243bitr4d 213 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cr 6945  cle 7119  -cneg 7245  [,]cicc 8860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-icc 8864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator