ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt0neg1 GIF version

Theorem lt0neg1 7628
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1
StepHypRef Expression
1 0re 7170 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltneg 7622 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
31, 2mpan2 416 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ -0 < -𝐴))
4 neg0 7410 . . 3 -0 = 0
54breq1i 3794 . 2 (-0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴)
63, 5syl6bb 194 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3787  cr 7031  0cc0 7032   < clt 7204  -cneg 7336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-ltxr 7209  df-sub 7337  df-neg 7338
This theorem is referenced by:  mullt0  7640  lt0neg1d  7672  recexre  7734  rpnegap  8836
  Copyright terms: Public domain W3C validator