ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcpi GIF version

Theorem ltdcpi 6479
Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcpi ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi
StepHypRef Expression
1 pinn 6465 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6465 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nndcel 6109 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴𝐵)
41, 2, 3syl2an 277 . 2 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴𝐵)
5 ltpiord 6475 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
65dcbid 759 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵DECID 𝐴𝐵))
74, 6mpbird 160 1 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  DECID wdc 753  wcel 1409   class class class wbr 3792  ωcom 4341  Ncnpi 6428   <N clti 6431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-ni 6460  df-lti 6463
This theorem is referenced by:  ltdcnq  6553
  Copyright terms: Public domain W3C validator