Theorem modqmuladdim 10143

Description: Implication of a decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqmuladdim	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modqmuladdim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
2		simpl1 984	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		simpl2 985	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
6		simpl3 986	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
7	4, 5, 6	modqcld 10104	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
8	1, 7	eqeltrrd 2217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
9		qre 9420	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		modqge0 10108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
13	12, 1	breqtrd 3954	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 ≤ 𝐵)
14		modqlt 10109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
16	1, 15	eqbrtrrd 3952	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 < 𝑀)
17		0re 7769	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		qre 9420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		rexr 7814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ*)
20	5, 18, 19	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℝ*)
21		elico2 9723	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
22	17, 20, 21	sylancr 410	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑀)))
23	10, 13, 16, 22	mpbir3and 1164	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
24	2, 8, 23, 5, 6	modqmuladd 10142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
25	1, 24	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
26	25	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7622  0cc0 7623   + caddc 7626   · cmul 7628  ℝ^*cxr 7802   < clt 7803   ≤ cle 7804  ℤcz 9057  ℚcq 9414  [,)cico 9676   mod cmo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-q 9415  df-rp 9445  df-ico 9680  df-fl 10046  df-mod 10099

This theorem is referenced by:  modqmuladdnn0  10144