Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqmuladdnn0 GIF version

 Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 107 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
21adantr 265 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 nn0cn 8249 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
433ad2ant1 936 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nn0z 8322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 zq 8658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
983ad2ant1 936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
109adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
11 simpl2 919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℚ)
12 simpl3 920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 0 < 𝑀)
1310, 11, 12modqcld 9278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
14 qcn 8666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1716adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1815, 17mpbid 139 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20 zcn 8307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2120adantl 266 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
22 qcn 8666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝑀 ∈ ℂ)
2423adantr 265 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 7105 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
265, 19, 25subadd2d 7404 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
27 eqcom 2058 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2826, 27syl6rbbr 192 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
294adantr 265 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3029, 18subcld 7385 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
3130adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
32 qre 8657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℝ)
33323ad2ant2 937 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
3512adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
3634, 35gt0ap0d 7693 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
3731, 21, 24, 36divmulap3d 7874 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
38 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3938oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4039eqcoms 2059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4140adantl 266 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
4241adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
43 modqdiffl 9285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
448, 43syl3an1 1179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4544ad2antrr 465 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2088 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4746eqeq1d 2064 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4828, 37, 473bitr2d 209 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
49 qre 8657 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
509, 49syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
51 nn0ge0 8264 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
52513ad2ant1 936 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
53 simp3 917 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
54 divge0 7914 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5550, 52, 33, 53, 54syl22anc 1147 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
56 simp2 916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
5753gt0ne0d 7578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ≠ 0)
58 qdivcl 8675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
599, 56, 57, 58syl3anc 1146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ)
60 0z 8313 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
61 flqge 9232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6259, 60, 61sylancl 398 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6355, 62mpbid 139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
64 breq2 3796 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
6563, 64syl5ibcom 148 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6665ad2antrr 465 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6748, 66sylbid 143 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6867imp 119 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
69 elnn0z 8315 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
702, 68, 69sylanbrc 402 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
71 oveq1 5547 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
7271oveq1d 5555 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7372eqeq2d 2067 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7473adantl 266 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
75 simpr 107 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7670, 74, 75rspcedvd 2680 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
77 modqmuladdim 9317 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
786, 77syl3an1 1179 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7978imp 119 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
8076, 79r19.29a 2471 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
8180ex 112 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∧ w3a 896   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   ≠ wne 2220  ∃wrex 2324   class class class wbr 3792  ‘cfv 4930  (class class class)co 5540  ℂcc 6945  ℝcr 6946  0cc0 6947   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119   ≤ cle 7120   − cmin 7245   / cdiv 7725  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302  ℚcq 8651  ⌊cfl 9220   mod cmo 9272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682  df-ico 8864  df-fl 9222  df-mod 9273 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator