ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nltled GIF version

Theorem nltled 7286
Description: 'Not less than ' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
nltled.1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
nltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem nltled
StepHypRef Expression
1 nltled.1 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3lenltd 7283 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51, 4mpbird 165 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1434   class class class wbr 3787  cr 7031   < clt 7204  cle 7205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-xr 7208  df-le 7210
This theorem is referenced by:  suprubex  8085  expival  9564  zsupcl  10476  zssinfcl  10477  infssuzledc  10479  dvdslegcd  10489  pw2dvdseulemle  10678
  Copyright terms: Public domain W3C validator