Theorem dedekindicclemuub 12773

Description: Lemma for dedekindicc 12780. Any element of the upper cut is an upper bound for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicclemuub.u	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemuub	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐶,𝑞,𝑟,𝑧   𝐿,𝑞,𝑧   𝑈,𝑞,𝑧,𝑟   𝜑,𝑞,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑧,𝑞)   𝐵(𝑧,𝑞)   𝐿(𝑟)

Proof of Theorem dedekindicclemuub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicclemuub.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq1 2202	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		breq2 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝐶))
4	3	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
5	2, 4	bibi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐶 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)))
6		dedekindicc.ur	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindicc.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
8	7, 1	sseldd 3098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9	5, 6, 8	rspcdva 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶))
10	1, 9	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝐶)
11		dedekindicc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		dedekindicc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 9738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		dedekindicc.lss	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	16	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
18		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ 𝐿)
19	17, 18	sseldd 3098	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
20	15, 19	sseldd 3098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	7	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
22		simplrl 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ 𝑈)
23	21, 22	sseldd 3098	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	15, 23	sseldd 3098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 ∈ ℝ)
25	14, 8	sseldd 3098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝐶 ∈ ℝ)
27		breq1 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑞 → (𝑎 < 𝑧 ↔ 𝑞 < 𝑧))
28	27	rspcev 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
29	22, 28	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧)
30	27	cbvrexv 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑈 𝑎 < 𝑧 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
31	29, 30	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)
32		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑧 ∈ 𝑈))
33		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑟 ↔ 𝑞 < 𝑧))
34	33	rexbidv 2438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
35	32, 34	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧)))
36	6	ad3antrrr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
37	19	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	35, 36, 37	rspcdva 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑧))
39	31, 38	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑈)
40		simplll 522	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝜑)
41	18	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐿)
42		dedekindicc.disj	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
43		disj 3411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∩ 𝑈) = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
44	42, 43	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
45	44	r19.21bi 2520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
46	40, 41, 45	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) ∧ 𝑞 < 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑈)
47	39, 46	pm2.65da 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → ¬ 𝑞 < 𝑧)
48	20, 24, 47	nltled 7883	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 ≤ 𝑞)
49		simplrr 525	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑞 < 𝐶)
50	20, 24, 26, 48, 49	lelttrd 7887	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐿) → 𝑧 < 𝐶)
51	50	ralrimiva 2505	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝑈 ∧ 𝑞 < 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)
52	10, 51	rexlimddv 2554	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐿 𝑧 < 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619   < clt 7800  [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-icc 9678

This theorem is referenced by:  dedekindicclemub  12774  dedekindicclemloc  12775