Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseulemle GIF version

Theorem pw2dvdseulemle 10255
 Description: Lemma for pw2dvdseu 10256. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2dvdseulemle.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseulemle (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle
StepHypRef Expression
1 pw2dvdseulemle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
21nn0red 8293 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 pw2dvdseulemle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0red 8293 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 pw2dvdseulemle.n2b . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6 2cnd 8063 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
73adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8 peano2nn0 8279 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
101adantr 265 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11 simpr 107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12 nn0ltp1le 8364 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
137, 10, 12syl2anc 397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
1411, 13mpbid 139 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15 nn0sub2 8372 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
169, 10, 14, 15syl3anc 1146 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
176, 16, 9expaddd 9551 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
189nn0cnd 8294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
1910nn0cnd 8294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
2018, 19pncan3d 7388 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
2120oveq2d 5556 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22 pw2dvdseulemle.2a . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2322adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2421, 23eqbrtrd 3812 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
2517, 24eqbrtrrd 3814 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26 2nn 8144 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
2827, 9nnexpcld 9571 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
2928nnzd 8418 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
3027, 16nnexpcld 9571 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
3130nnzd 8418 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32 pw2dvdseulemle.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnzd 8418 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 muldvds1 10132 . . . . 5 (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3629, 31, 34, 35syl3anc 1146 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3725, 36mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
385, 37mtand 601 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
392, 4, 38nltled 7196 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119   ≤ cle 7120   − cmin 7245  ℕcn 7990  2c2 8040  ℕ0cn0 8239  ℤcz 8302  ↑cexp 9419   ∥ cdvds 10108 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-dvds 10109 This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  10256
 Copyright terms: Public domain W3C validator