Theorem suplociccex 12772

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7837 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suplocicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
suplocicc.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
suplocicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
suplocicc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocicc.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		suplocicc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		suplocicc.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
4		suplocicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		suplocicc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		suplocicc.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 12771	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8		simprl 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		eleq1w 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
10	9	cbvexv 1890	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
11	5, 10	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
13	1	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		iccssre 9738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
15	1, 2, 14	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
16	4, 15	sstrd 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	16	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3098	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
20	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	13	rexrd 7815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	2	rexrd 7815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	4	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
25	24, 18	sseldd 3098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶))
26		iccgelb 9715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑢)
28		breq2 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑢))
29	28	notbid 656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑢))
30		simprrl 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
32	29, 31, 18	rspcdva 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < 𝑢)
33	19, 20, 32	nltled 7883	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ≤ 𝑥)
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 7886	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
35	12, 34	exlimddv 1870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
36		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝜑)
37		simprrr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
38	8, 30, 37	3jca 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39		lttri3 7844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
40	39	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
41	40	eqsupti 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
43	1	rexrd 7815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	43	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
46	4	sselda 3097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶))
47		iccleub 9714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑧 ≤ 𝐶)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐶)
49	48	ralrimiva 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶)
50	7, 16, 2	suprleubex 8712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶))
51	49, 50	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
52	51	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
53	42, 52	eqbrtrrd 3952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
54	8, 35, 53	3jca 1161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
55		elicc2 9721	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
56	1, 2, 55	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
57	56	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
58	54, 57	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
59		ssralv 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
61	60	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
62	37, 61	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
63	30, 62	jca 304	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
64	7, 58, 63	reximssdv 2536	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  supcsup 6869  ℝcr 7619  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801  [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-icc 9678  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  12776