ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnindnn GIF version

Theorem nnindnn 7025
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8006 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7032). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nntopi.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
nnindnn.y (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
nnindnn.y1 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
nnindnn.a (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
nnindnn.basis 𝜓
nnindnn.step (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
nnindnn (𝐴𝑁𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn
StepHypRef Expression
1 nntopi.n . . . . . . 7 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21peano1nnnn 6986 . . . . . 6 1 ∈ 𝑁
3 nnindnn.basis . . . . . 6 𝜓
4 nnindnn.1 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
54elrab 2721 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁𝜓))
62, 3, 5mpbir2an 860 . . . . 5 1 ∈ {𝑧𝑁𝜑}
7 elrabi 2718 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → 𝑘𝑁)
81peano2nnnn 6987 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
98a1d 22 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10 nnindnn.step . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
119, 10anim12d 322 . . . . . . . 8 (𝑘𝑁 → ((𝑘𝑁𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃)))
12 nnindnn.y . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
1312elrab 2721 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝑘𝑁𝜒))
14 nnindnn.y1 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
1514elrab 2721 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃))
1611, 13, 153imtr4g 198 . . . . . . 7 (𝑘𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}))
177, 16mpcom 36 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑})
1817rgen 2391 . . . . 5 𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}
191peano5nnnn 7024 . . . . 5 ((1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑})
206, 18, 19mp2an 410 . . . 4 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑}
2120sseli 2969 . . 3 (𝐴𝑁𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑})
22 nnindnn.a . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
2322elrab 2721 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝐴𝑁𝜏))
2421, 23sylib 131 . 2 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁𝜏))
2524simprd 111 1 (𝐴𝑁𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  {cab 2042  wral 2323  {crab 2327  wss 2945   cint 3643  (class class class)co 5540  1c1 6948   + caddc 6950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-enr 6869  df-nr 6870  df-plr 6871  df-0r 6874  df-1r 6875  df-c 6953  df-1 6955  df-r 6957  df-add 6958
This theorem is referenced by:  nntopi  7026
  Copyright terms: Public domain W3C validator