Theorem nnindnn 7701

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8736 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7708). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
nnindnn.1	|- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnindnn.y	|- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
nnindnn.y1	|- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnindnn.a	|- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
nnindnn.basis	|- ps
nnindnn.step	|- ( k e. N -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	|- ( A e. N -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   z, k   z, A   ps, z   ch, z   th, z   ta, z   ph, k   k, N, y, z   x, N, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, k)   ch( x, y, k)   th( x, y, k)   ta( x, y, k)   A( x, y, k)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	peano1nnnn 7660	. . . . . 6 |- 1 e. N
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 |- ps
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
5	4	elrab 2840	. . . . . 6 |- ( 1 e. { z e. N | ph } <-> ( 1 e. N /\ ps ) )
6	2, 3, 5	mpbir2an 926	. . . . 5 |- 1 e. { z e. N | ph }
7		elrabi 2837	. . . . . . 7 |- ( k e. { z e. N | ph } -> k e. N )
8	1	peano2nnnn 7661	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N )
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N ) )
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	anim12d 333	. . . . . . . 8 |- ( k e. N -> ( ( k e. N /\ ch ) -> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) ) )
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
13	12	elrab 2840	. . . . . . . 8 |- ( k e. { z e. N | ph } <-> ( k e. N /\ ch ) )
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
15	14	elrab 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } <-> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) )
16	11, 13, 15	3imtr4g 204	. . . . . . 7 |- ( k e. N -> ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) )
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } )
18	17	rgen 2485	. . . . 5 |- A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph }
19	1	peano5nnnn 7700	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { z e. N | ph } /\ A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) -> N C_ { z e. N | ph } )
20	6, 18, 19	mp2an 422	. . . 4 |- N C_ { z e. N | ph }
21	20	sseli 3093	. . 3 |- ( A e. N -> A e. { z e. N | ph } )
22		nnindnn.a	. . . 4 |- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
23	22	elrab 2840	. . 3 |- ( A e. { z e. N | ph } <-> ( A e. N /\ ta ) )
24	21, 23	sylib 121	. 2 |- ( A e. N -> ( A e. N /\ ta ) )
25	24	simprd 113	1 |- ( A e. N -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   {crab 2420   C_ wss 3071   |^|cint 3771  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-0r 7539  df-1r 7540  df-c 7626  df-1 7628  df-r 7630  df-add 7631

This theorem is referenced by:  nntopi  7702