ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsub GIF version

Theorem nnsub 8027
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 1))
2 oveq1 5546 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑧) = (1 − 𝑧))
32eleq1d 2122 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
41, 3imbi12d 227 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
54ralbidv 2343 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝑦))
7 oveq1 5546 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑧) = (𝑦𝑧))
87eleq1d 2122 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑧) ∈ ℕ))
96, 8imbi12d 227 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
109ralbidv 2343 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
11 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥𝑧 < (𝑦 + 1)))
12 oveq1 5546 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
1312eleq1d 2122 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
1411, 13imbi12d 227 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
1514ralbidv 2343 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16 breq2 3795 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝐵))
17 oveq1 5546 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝑧) = (𝐵𝑧))
1817eleq1d 2122 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
1916, 18imbi12d 227 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
2019ralbidv 2343 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
21 nnnlt1 8015 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
2221pm2.21d 559 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
2322rgen 2391 . . . 4 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24 breq1 3794 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
25 oveq2 5547 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧) = (𝑦𝑥))
2625eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
2724, 26imbi12d 227 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ)))
2827cbvralv 2550 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
29 nncn 7997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 7034 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
32 pncan 7279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3330, 31, 32sylancl 398 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34 simpl 106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3533, 34eqeltrd 2130 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36 oveq2 5547 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
3736eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 150 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
3938a1dd 46 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
4039a1dd 46 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
41 breq1 3794 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
42 oveq2 5547 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
4342eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
4441, 43imbi12d 227 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
4544rspcv 2669 . . . . . . . 8 ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
46 nnre 7996 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
47 nnre 7996 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
48 1re 7083 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
49 ltsubadd 7500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5048, 49mp3an2 1231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5146, 47, 50syl2anr 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
52 nncn 7997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
53 subsub3 7305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5431, 53mp3an3 1232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5529, 52, 54syl2an 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5655eleq1d 2122 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
5751, 56imbi12d 227 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5857biimpd 136 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5945, 58syl9r 71 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
60 nn1m1nn 8007 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6160adantl 266 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6240, 59, 61mpjaod 648 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6362ralrimdva 2416 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6428, 63syl5bi 145 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 8005 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
66 breq1 3794 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
67 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝐵𝑧) = (𝐵𝐴))
6867eleq1d 2122 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
6966, 68imbi12d 227 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)))
7069rspcva 2671 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
7165, 70sylan2 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
72 nngt0 8014 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵𝐴))
73 nnre 7996 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
74 nnre 7996 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
75 posdif 7523 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7673, 74, 75syl2an 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7772, 76syl5ibr 149 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
7871, 77impbid 124 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cmin 7244  cn 7989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990
This theorem is referenced by:  nnsubi  8028  uz3m2nn  8610
  Copyright terms: Public domain W3C validator