ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnlt1 GIF version

Theorem nnnlt1 8202
Description: A positive integer is not less than one. (Contributed by NM, 18-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
nnnlt1 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)

Proof of Theorem nnnlt1
StepHypRef Expression
1 nnge1 8199 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2 1re 7250 . . 3 1 ∈ ℝ
3 nnre 8183 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 lenlt 7324 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
52, 3, 4sylancr 405 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 1))
61, 5mpbid 145 1 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 𝐴 < 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3805  cr 7112  1c1 7114   < clt 7285  cle 7286  cn 8176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1re 7202  ax-addrcl 7205  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-ltadd 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-cnv 4399  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5567  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-inn 8177
This theorem is referenced by:  0nnn  8203  nnsub  8214  indstr  8832  indstr2  8847  sqrt2irr  10766
  Copyright terms: Public domain W3C validator