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Theorem nummac 8470
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
21nn0cni 8250 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
3 numma.2 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 8250 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℕ0
65nn0cni 8250 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℂ
74, 6mulcli 7089 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 8250 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℕ0
1110nn0cni 8250 . . . . . . 7 𝐺 ∈ ℂ
127, 9, 11addassi 7092 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2076 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 7088 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
1615, 11addcli 7088 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
1714, 16eqeltrri 2127 . . . 4 𝐸 ∈ ℂ
182, 17, 11subdii 7475 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 5549 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
21 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 7361 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 138 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2060 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 8469 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 7089 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
302, 11mulcli 7089 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31 npcan 7282 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 410 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 5549 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 7349 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 ∈ ℕ0
3635nn0cni 8250 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
3734, 30, 36addassi 7092 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2078 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2086 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  cc 6944   + caddc 6949   · cmul 6951  cmin 7244  0cn0 8238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-sub 7246  df-inn 7990  df-n0 8239
This theorem is referenced by:  numma2c  8471  numaddc  8473  nummul1c  8474  decmac  8477
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