Theorem rebtwn2zlemshrink 10034

Description: Lemma for rebtwn2z 10035. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemshrink	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2))
2		3simpb 979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
4	3	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
5	4	anbi2d 459	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
6	5	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
7	6	anbi2d 459	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)))))
8	7	imbi1d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
9		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
10	9	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
11	10	anbi2d 459	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
12	11	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
13	12	anbi2d 459	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
14	13	imbi1d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
15		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
16	15	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
17	16	anbi2d 459	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
18	17	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
19	18	anbi2d 459	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
20	19	imbi1d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
21		oveq2 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
22	21	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
23	22	anbi2d 459	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
24	23	rexbidv 2438	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
25	24	anbi2d 459	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
26	25	imbi1d 230	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
27		breq1 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐴))
28		oveq1 5781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
29	28	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
30	27, 29	anbi12d 464	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
31	30	cbvrexv 2655	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
32	31	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
33	32	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
34		rebtwn2zlemstep 10033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
35	34	3expia 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
36	35	imdistanda 444	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
37	36	imim1d 75	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
38	8, 14, 20, 26, 33, 37	uzind4i 9390	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
39	1, 2, 38	sylc 62	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7622  1c1 7624   + caddc 7626   < clt 7803  2c2 8774  ℤcz 9057  ℤ_≥cuz 9329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-2 8782  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330

This theorem is referenced by:  rebtwn2z  10035