ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2z GIF version

Theorem rebtwn2z 9210
Description: A real number can be bounded by integers above and below which are two apart.

The proof starts by finding two integers which are less than and greater than the given real number. Then this range can be shrunk by choosing an integer in between the endpoints of the range and then deciding which half of the range to keep based on weak linearity, and iterating until the range consists of integers which are two apart. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion
Ref Expression
rebtwn2z (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwn2z
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 btwnz 8415 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑚 < 𝐴 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑛))
2 reeanv 2496 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) ↔ (∃𝑚 ∈ ℤ 𝑚 < 𝐴 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑛))
31, 2sylibr 141 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛))
4 simpll 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simplrl 495 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
65zred 8418 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
7 simplrr 496 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
87zred 8418 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 simprl 491 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 < 𝐴)
10 simprr 492 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 < 𝑛)
116, 4, 8, 9, 10lttrd 7200 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 < 𝑛)
12 znnsub 8352 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑚) ∈ ℕ))
1312ad2antlr 466 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑚) ∈ ℕ))
1411, 13mpbid 139 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑛𝑚) ∈ ℕ)
15 elnnuz 8604 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑚) ∈ ℕ ↔ (𝑛𝑚) ∈ (ℤ‘1))
16 eluzp1p1 8593 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑚) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑛𝑚) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
1715, 16sylbi 118 . . . . . . 7 ((𝑛𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛𝑚) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
18 df-2 8048 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1918fveq2i 5208 . . . . . . 7 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2017, 19syl6eleqr 2147 . . . . . 6 ((𝑛𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛𝑚) + 1) ∈ (ℤ‘2))
2114, 20syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ((𝑛𝑚) + 1) ∈ (ℤ‘2))
225zcnd 8419 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
237zcnd 8419 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
2422, 23pncan3d 7387 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 + (𝑛𝑚)) = 𝑛)
2524, 8eqeltrd 2130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 + (𝑛𝑚)) ∈ ℝ)
268, 6resubcld 7450 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑛𝑚) ∈ ℝ)
27 1red 7099 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
2826, 27readdcld 7113 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ((𝑛𝑚) + 1) ∈ ℝ)
296, 28readdcld 7113 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
3010, 24breqtrrd 3817 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 < (𝑚 + (𝑛𝑚)))
3126ltp1d 7970 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑛𝑚) < ((𝑛𝑚) + 1))
3226, 28, 6, 31ltadd2dd 7490 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → (𝑚 + (𝑛𝑚)) < (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)))
334, 25, 29, 30, 32lttrd 7200 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → 𝐴 < (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)))
34 breq1 3794 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 < 𝐴𝑚 < 𝐴))
35 oveq1 5546 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1)) = (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)))
3635breq2d 3803 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1)) ↔ 𝐴 < (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1))))
3734, 36anbi12d 450 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑦 < 𝐴𝐴 < (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1))) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)))))
3837rspcev 2673 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + ((𝑛𝑚) + 1)))) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 < 𝐴𝐴 < (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1))))
395, 9, 33, 38syl12anc 1144 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 < 𝐴𝐴 < (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1))))
40 rebtwn2zlemshrink 9209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑛𝑚) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 < 𝐴𝐴 < (𝑦 + ((𝑛𝑚) + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
414, 21, 39, 40syl3anc 1146 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
4241ex 112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
4342rexlimdvva 2457 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < 𝑛) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2))))
443, 43mpd 13 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴𝐴 < (𝑥 + 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cmin 7244  cn 7989  2c2 8039  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057  ax-arch 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-2 8048  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  qbtwnre  9212
  Copyright terms: Public domain W3C validator