Theorem cbvrexv 2655

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1508	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		cbvralv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	cbvrex 2651	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∃wrex 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422

This theorem is referenced by:  cbvrexvw  2659  cbvrex2v  2666  reu7  2879  reusv3  4381  funcnvuni  5192  fun11iun  5388  fvelimab  5477  fliftfun  5697  grpridd  5967  tfr1onlemaccex  6245  tfrcllemsucaccv  6251  tfrcllembxssdm  6253  tfrcllemaccex  6258  tfrcldm  6260  frecsuc  6304  nnaordex  6423  fimax2gtri  6795  supmoti  6880  suplub2ti  6888  fodjuomnilemdc  7016  fodjuomnilemres  7020  fodjuomni  7021  fodjumkvlemres  7033  fodjumkv  7034  cardval3ex  7041  prarloclemlo  7305  prarloclem3  7308  cauappcvgprlemdisj  7462  cauappcvgprlemladdru  7467  cauappcvgprlemladdrl  7468  cauappcvgpr  7473  caucvgprlemdisj  7485  caucvgprlemcl  7487  caucvgprlemladdfu  7488  caucvgprlemladdrl  7489  caucvgpr  7493  caucvgprprlemell  7496  caucvgprprlemelu  7497  caucvgprprlemlol  7509  caucvgprprlemclphr  7516  caucvgprprlemexbt  7517  suplocexprlemmu  7529  suplocexpr  7536  suplocsrlem  7619  nntopi  7705  axcaucvglemres  7710  axpre-suploc  7713  suprzclex  9152  supinfneg  9393  infsupneg  9394  ublbneg  9408  exbtwnzlemstep  10028  exbtwnzlemshrink  10029  rebtwn2zlemstep  10033  rebtwn2zlemshrink  10034  hashunlem  10553  cvg1nlemres  10760  resqrexlemoverl  10796  resqrexlemsqa  10799  resqrexlemex  10800  rexanre  10995  rexico  10996  fimaxre2  11001  summodclem2  11154  summodc  11155  mertenslemub  11306  mertensabs  11309  odd2np1lem  11572  divalglemeunn  11621  divalglemeuneg  11623  bezoutlemex  11692  ennnfoneleminc  11927  ennnfonelemex  11930  ennnfonelemhom  11931  ennnfonelemr  11939  ctinfom  11944  cnptoprest  12411  dedekindeulemuub  12767  dedekindeulemub  12768  dedekindeulemloc  12769  dedekindeulemlub  12770  dedekindeulemlu  12771  dedekindicclemuub  12776  dedekindicclemub  12777  dedekindicclemloc  12778  dedekindicclemlub  12779  dedekindicclemlu  12780  bj-nn0sucALT  13179