ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rebtwn2zlemstep GIF version

Theorem rebtwn2zlemstep 9208
Description: Lemma for rebtwn2z 9210. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
rebtwn2zlemstep ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem rebtwn2zlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2z 8337 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21ad3antlr 470 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
3 simpr 107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + 1) < 𝐴)
4 simplrr 496 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
5 simpllr 494 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
65zcnd 8419 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
7 1cnd 7100 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
8 eluzelcn 8579 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℂ)
98ad4antr 471 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
106, 7, 9addassd 7106 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (1 + 𝐾)))
117, 9addcomd 7224 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (1 + 𝐾) = (𝐾 + 1))
1211oveq2d 5555 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → (𝑚 + (1 + 𝐾)) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1310, 12eqtrd 2088 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ((𝑚 + 1) + 𝐾) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
144, 13breqtrrd 3817 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))
15 breq1 3794 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 < 𝐴 ↔ (𝑚 + 1) < 𝐴))
16 oveq1 5546 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 1) + 𝐾))
1716breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾)))
1815, 17anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))))
1918rspcev 2673 . . . . . . 7 (((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 1) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
202, 3, 14, 19syl12anc 1144 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 1) < 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
21 simpllr 494 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
22 simplrl 495 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 < 𝐴)
23 simpr 107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
24 breq1 3794 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 < 𝐴𝑚 < 𝐴))
25 oveq1 5546 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
2625breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
2724, 26anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
2827rspcev 2673 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
2921, 22, 23, 28syl12anc 1144 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
30 1red 7099 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
31 eluzelre 8578 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
3231ad3antrrr 469 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 simplr 490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433zred 8418 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℝ)
35 1z 8327 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
36 eluzp1l 8592 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → 1 < 𝐾)
3735, 36mpan 408 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘(1 + 1)) → 1 < 𝐾)
38 df-2 8048 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3938fveq2i 5208 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
4037, 39eleq2s 2148 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
4140ad3antrrr 469 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 1 < 𝐾)
4230, 32, 34, 41ltadd2dd 7490 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾))
4334, 30readdcld 7113 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
4434, 32readdcld 7113 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
45 simpllr 494 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 axltwlin 7145 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1146 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < (𝑚 + 𝐾) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
4842, 47mpd 13 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 1) < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4920, 29, 48mpjaodan 722 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5049ex 112 . . . 4 (((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5150rexlimdva 2450 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52513impia 1112 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53 breq1 3794 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 < 𝐴𝑗 < 𝐴))
54 oveq1 5546 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5554breq2d 3803 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5653, 55anbi12d 450 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5756cbvrexv 2551 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 < 𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5852, 57sylibr 141 1 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3791  cfv 4929  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  2c2 8039  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-2 8048  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  rebtwn2zlemshrink  9209
  Copyright terms: Public domain W3C validator