ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ublbneg GIF version

Theorem ublbneg 8546
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3767 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏𝑎𝑦𝑎))
21cbvralv 2533 . . . 4 (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
32rexbii 2331 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎)
4 breq2 3768 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (𝑦𝑎𝑦𝑥))
54ralbidv 2326 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
65cbvrexv 2534 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73, 6bitri 173 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
8 renegcl 7270 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
9 elrabi 2695 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → 𝑦 ∈ ℝ)
10 negeq 7202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → -𝑧 = -𝑦)
1110eleq1d 2106 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑦𝐴))
1211elrab3 2699 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ -𝑦𝐴))
1312biimpd 132 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴))
149, 13mpcom 32 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → -𝑦𝐴)
15 breq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑏 = -𝑦 → (𝑏𝑎 ↔ -𝑦𝑎))
1615rspcv 2652 . . . . . . . 8 (-𝑦𝐴 → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1714, 16syl 14 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
1817adantl 262 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑦𝑎))
19 lenegcon1 7459 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
209, 19sylan2 270 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (-𝑎𝑦 ↔ -𝑦𝑎))
2118, 20sylibrd 158 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}) → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → -𝑎𝑦))
2221ralrimdva 2399 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
23 breq1 3767 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑎𝑦))
2423ralbidv 2326 . . . . 5 (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦))
2524rspcev 2656 . . . 4 ((-𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}-𝑎𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
268, 22, 25syl6an 1323 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦))
2726rexlimiv 2427 . 2 (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏𝐴 𝑏𝑎 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
287, 27sylbir 125 1 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}𝑥𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  wrex 2307  {crab 2310   class class class wbr 3764  cr 6886  cle 7059  -cneg 7181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator