ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin2 GIF version

Theorem uzin2 9778
Description: The upper integers are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin2 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)

Proof of Theorem uzin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 8542 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5071 . . . 4 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
31, 2ax-mp 7 . . 3 Fn ℤ
4 fvelrnb 5246 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴))
53, 4ax-mp 7 . 2 (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴)
6 fvelrnb 5246 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵))
73, 6ax-mp 7 . 2 (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵)
8 ineq1 3156 . . 3 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)))
98eleq1d 2120 . 2 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → (((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ))
10 ineq2 3157 . . 3 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴𝐵))
1110eleq1d 2120 . 2 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ))
12 uzin 8571 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)))
13 simpr 107 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
14 simpl 106 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
15 zdcle 8345 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑦)
1613, 14, 15ifcldcd 3383 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ)
17 fnfvelrn 5324 . . . 4 ((ℤ Fn ℤ ∧ if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
183, 16, 17sylancr 399 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
1912, 18eqeltrd 2128 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ)
205, 7, 9, 11, 192gencl 2602 1 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  wrex 2322  cin 2941  ifcif 3356  𝒫 cpw 3384   class class class wbr 3789  ran crn 4371   Fn wfn 4922  wf 4923  cfv 4927  cle 7090  cz 8272  cuz 8539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-if 3357  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-uz 8540
This theorem is referenced by:  rexanuz  9779
  Copyright terms: Public domain W3C validator