ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzf GIF version

Theorem uzf 8571
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf :ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3052 . . . 4 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ
2 zex 8310 . . . . 5 ℤ ∈ V
32elpw2 3938 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ)
41, 3mpbir 138 . . 3 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
54rgenw 2393 . 2 𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
6 df-uz 8569 . . 3 = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘})
76fmpt 5346 . 2 (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ)
85, 7mpbi 137 1 :ℤ⟶𝒫 ℤ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1409  wral 2323  {crab 2327  wss 2944  𝒫 cpw 3386   class class class wbr 3791  wf 4925  cle 7119  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-fv 4937  df-ov 5542  df-neg 7247  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by:  eluzel2  8573  uzn0  8583  uzin2  9813  rexanuz  9814  climmpt  10051
  Copyright terms: Public domain W3C validator