ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzn0 GIF version

Theorem uzn0 8583
Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzn0 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 8571 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5073 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
3 fvelrnb 5248 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀))
41, 2, 3mp2b 8 . 2 (𝑀 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀)
5 uzid 8582 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ (ℤ𝑘))
6 ne0i 3257 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑘) → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (ℤ𝑘) ≠ ∅)
8 neeq1 2233 . . . 4 ((ℤ𝑘) = 𝑀 → ((ℤ𝑘) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 148 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ((ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅))
109rexlimiv 2444 . 2 (∃𝑘 ∈ ℤ (ℤ𝑘) = 𝑀𝑀 ≠ ∅)
114, 10sylbi 118 1 (𝑀 ∈ ran ℤ𝑀 ≠ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  wrex 2324  c0 3251  𝒫 cpw 3386  ran crn 4373   Fn wfn 4924  wf 4925  cfv 4929  cz 8301  cuz 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltirr 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-fv 4937  df-ov 5542  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-neg 7247  df-z 8302  df-uz 8569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator