ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmodid2 GIF version

Theorem zmodid2 9486
Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
zmodid2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2
StepHypRef Expression
1 zq 8844 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
21adantr 270 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℚ)
3 nnq 8851 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
43adantl 271 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
5 nngt0 8183 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
65adantl 271 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
7 modqid2 9485 . . 3 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1170 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
9 nnz 8503 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
10 0z 8495 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
11 elfzm11 9236 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1210, 11mpan 415 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
13 3anass 924 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1412, 13syl6bb 194 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
159, 14syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
16 ibar 295 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))))
1716bicomd 139 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
1815, 17sylan9bbr 451 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁)))
198, 18bitr4d 189 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  0cc0 7095  1c1 7096   < clt 7267  cle 7268  cmin 7398  cn 8158  cz 8484  cq 8837  ...cfz 9157   mod cmo 9456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fl 9404  df-mod 9457
This theorem is referenced by:  zmodidfzo  9487
  Copyright terms: Public domain W3C validator