ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnz GIF version

Theorem nnz 8451
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 8449 . 2 ℕ ⊆ ℤ
21sseli 2996 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  cn 8106  cz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-z 8433
This theorem is referenced by:  elnnz1  8455  znegcl  8463  nnleltp1  8491  nnltp1le  8492  elz2  8500  nnlem1lt  8512  nnltlem1  8513  nnm1ge0  8514  prime  8527  nneo  8531  zeo  8533  btwnz  8547  indstr  8762  eluz2b2  8771  elnn1uz2  8775  qaddcl  8801  qreccl  8808  elfz1end  9150  fznatpl1  9169  fznn  9182  elfz1b  9183  elfzo0  9268  fzo1fzo0n0  9269  elfzo0z  9270  elfzo1  9276  ubmelm1fzo  9312  intfracq  9402  zmodcl  9426  zmodfz  9428  zmodfzo  9429  zmodid2  9434  zmodidfzo  9435  modfzo0difsn  9477  expinnval  9576  mulexpzap  9613  nnesq  9689  expnlbnd  9694  expnlbnd2  9695  facdiv  9762  faclbnd  9765  bc0k  9780  ibcval5  9787  caucvgrelemcau  10004  resqrexlemlo  10037  resqrexlemcalc3  10040  resqrexlemgt0  10044  absexpzap  10104  climuni  10270  dvdsval3  10344  nndivdvds  10346  modmulconst  10372  dvdsle  10389  dvdsssfz1  10397  fzm1ndvds  10401  dvdsfac  10405  oexpneg  10421  nnoddm1d2  10454  divalg2  10470  divalgmod  10471  modremain  10473  ndvdsadd  10475  nndvdslegcd  10501  divgcdz  10507  divgcdnn  10510  divgcdnnr  10511  modgcd  10526  gcddiv  10552  gcdmultiple  10553  gcdmultiplez  10554  gcdzeq  10555  gcdeq  10556  rpmulgcd  10559  rplpwr  10560  rppwr  10561  sqgcd  10562  dvdssqlem  10563  dvdssq  10564  eucalginv  10582  lcmgcdlem  10603  lcmgcdnn  10608  lcmass  10611  coprmgcdb  10614  qredeq  10622  qredeu  10623  cncongr1  10629  cncongr2  10630  1idssfct  10641  isprm2lem  10642  isprm3  10644  isprm4  10645  prmind2  10646  divgcdodd  10666  isprm6  10670  sqrt2irr  10685  pw2dvds  10688  sqrt2irraplemnn  10701  oddennn  10703  evenennn  10704  unennn  10708
  Copyright terms: Public domain W3C validator