Theorem axacndlem1 4939

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem1	⊢ (∀x x = y → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Proof of Theorem axacndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1143	. . 3 ⊢ (∀x x = y → ∀y∀x x = y)
2		hbae 1143	. . . 4 ⊢ (∀x x = y → ∀z∀x x = y)
3		nd1 4918	. . . . . 6 ⊢ (∀x x = y → ¬ ∀x y ∈ z)
4	3	pm2.21d 78	. . . . 5 ⊢ (∀x x = y → (∀x y ∈ z → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
5		pm3.26 319	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ z ⋀ z ∈ w) → y ∈ z)
6	5	19.20i 990	. . . . 5 ⊢ (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∀x y ∈ z)
7	4, 6	syl5 21	. . . 4 ⊢ (∀x x = y → (∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
8	2, 7	19.21ai 996	. . 3 ⊢ (∀x x = y → ∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
9	1, 8	19.21ai 996	. 2 ⊢ (∀x x = y → ∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
10		19.8a 1027	. 2 ⊢ (∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)) → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))
11	9, 10	syl 10	1 ⊢ (∀x x = y → ∃x∀y∀z(∀x(y ∈ z ⋀ z ∈ w) → ∃w∀y(∃w((y ∈ z ⋀ z ∈ w) ⋀ (y ∈ w ⋀ w ∈ x)) ↔ y = w)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978

This theorem is referenced by:  axacndlem4 4942  axacndlem5 4943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409

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