Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2upln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-2upln0 32655
Description: A couple is nonempty. (Contributed by BJ, 21-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-2upln0 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅

Proof of Theorem bj-2upln0
StepHypRef Expression
1 df-bj-2upl 32643 . 2 𝐴, 𝐵⦆ = (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
2 bj-1upln0 32641 . . . . 5 𝐴⦆ ≠ ∅
3 0pss 3985 . . . . 5 (∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ↔ ⦅𝐴⦆ ≠ ∅)
42, 3mpbir 221 . . . 4 ∅ ⊊ ⦅𝐴
5 ssun1 3754 . . . 4 𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
6 psssstr 3691 . . . 4 ((∅ ⊊ ⦅𝐴⦆ ∧ ⦅𝐴⦆ ⊆ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))) → ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)))
74, 5, 6mp2an 707 . . 3 ∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵))
8 0pss 3985 . . 3 (∅ ⊊ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ↔ (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅)
97, 8mpbi 220 . 2 (⦅𝐴⦆ ∪ ({1𝑜} × tag 𝐵)) ≠ ∅
101, 9eqnetri 2860 1 𝐴, 𝐵⦆ ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wne 2790  cun 3553  wss 3555  wpss 3556  c0 3891  {csn 4148   × cxp 5072  1𝑜c1o 7498  tag bj-ctag 32606  bj-c1upl 32629  bj-c2uple 32642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-bj-tag 32607  df-bj-1upl 32630  df-bj-2upl 32643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator