Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dford4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford4 38116
Description: dford3 38115 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 38115 . 2 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎))
2 dftr2 4906 . . . . 5 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
3 19.3v 2063 . . . . . . . 8 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
4 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑎𝑁))
54imbi1i 338 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
63, 5bitri 264 . . . . . . 7 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
762albii 1897 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
8 alcom 2186 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
97, 8bitri 264 . . . . 5 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
102, 9bitr4i 267 . . . 4 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
11 df-ral 3055 . . . . 5 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎))
12 dftr2 4906 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎))
1312imbi2i 325 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
14 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑎𝑁
15 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑎𝑁
1614, 1519.21-2 2225 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
1713, 16bitr4i 267 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
18 impexp 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
19 ancom 465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑏𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑐𝑏))
2019anbi2i 732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
21 anass 684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
2220, 21bitr4i 267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏))
2322imbi1i 338 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
2418, 23bitr3i 266 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
25 impexp 461 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2624, 25bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
27262albii 1897 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
28 alcom 2186 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2917, 27, 283bitri 286 . . . . . 6 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3029albii 1896 . . . . 5 (∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3111, 30bitri 264 . . . 4 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3210, 31anbi12i 735 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
33 19.26 1947 . . 3 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3432, 33bitr4i 267 . 2 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
35 19.26-2 1948 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
36 pm4.76 946 . . . . 5 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
37362albii 1897 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3835, 37bitr3i 266 . . 3 ((∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3938albii 1896 . 2 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
401, 34, 393bitri 286 1 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630  wcel 2139  wral 3050  Tr wtr 4904  Ord word 5883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-reg 8664
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator