Theorem ereldm 8323

Description: Equality of equivalence classes implies equivalence of domain membership. (Contributed by NM, 28-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ereldm.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
ereldm.2	⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ereldm	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Proof of Theorem ereldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ereldm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → [𝐴]𝑅 = [𝐵]𝑅)
2	1	neeq1d 3075	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐴]𝑅 ≠ ∅ ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅))
3		ecdmn0 8322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐴]𝑅 ≠ ∅)
4		ecdmn0 8322	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)
5	2, 3, 4	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ dom 𝑅))
6		ereldm.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Er 𝑋)
7		erdm 8285	. . . 4 ⊢ (𝑅 Er 𝑋 → dom 𝑅 = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑋)
9	8	eleq2d 2898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑋))
10	8	eleq2d 2898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	5, 9, 10	3bitr3d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4279  dom cdm 5541   Er wer 8272  [cec 8273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5316

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-br 5053  df-opab 5115  df-xp 5547  df-cnv 5549  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-er 8275  df-ec 8277

This theorem is referenced by:  erth  8324  brecop  8376  eceqoveq  8388