Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsfun 15825
 Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun
StepHypRef Expression
1 funres 5892 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21adantl 482 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32adantr 481 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4 funsng 5900 . . . 4 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
54adantl 482 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6 dmres 5383 . . . . . 6 dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
76ineq1i 3793 . . . . 5 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8 in32 3808 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9 incom 3788 . . . . . . . 8 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
10 disjdif 4017 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
119, 10eqtri 2643 . . . . . . 7 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1211ineq1i 3793 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
13 0in 3946 . . . . . 6 (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
148, 12, 133eqtri 2647 . . . . 5 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
157, 14eqtri 2643 . . . 4 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1615a1i 11 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
17 funun 5895 . . 3 (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
183, 5, 16, 17syl21anc 1322 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
19 opex 4898 . . . . . 6 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
21 setsvalg 15819 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2220, 21sylan2 491 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2322funeqd 5874 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2423adantr 481 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2518, 24mpbird 247 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557   ∩ cin 3558  ∅c0 3896  {csn 4153  ⟨cop 4159  dom cdm 5079   ↾ cres 5081  Fun wfun 5846  (class class class)co 6610   sSet csts 15790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-res 5091  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-sets 15798 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator