Theorem subrfv 40822

Description: Vector subtraction at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
subrfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))

Proof of Theorem subrfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrval 40819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))‘𝐶))
3		fveq2 6670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝐶))
4		fveq2 6670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝐶))
5	3, 4	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))
7		ovex 7189	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6768	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
9	2, 8	sylan9eq 2876	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
10	9	3impa 1106	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   − cmin 10870  -_𝑟cminusr 40810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-subr 40816

This theorem is referenced by: (None)