Theorem suppimacnvss 7840

Description: The support of functions "defined" by inverse images is a subset of the support defined by df-supp 7831. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnvss	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Proof of Theorem suppimacnvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exsimpl 1869	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
2		pm5.1 821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	eximi 1835	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
4	1, 3	jca 514	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))))
6	5	ss2abdv 4044	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)} ⊆ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
7		cnvimadfsn 7839	. . 3 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
9		suppvalbr 7834	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
10	6, 8, 9	3sstr4d 4014	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4567   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  (class class class)co 7156   supp csupp 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-supp 7831

This theorem is referenced by:  suppimacnv  7841