Theorem wunss 10136

Description: A weak universe is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wununi.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wununi.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
wunss.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wunss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wununi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wununi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunpw 10131	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wunelss 10132	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5		wunss.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6	2, 5	sselpwd 5232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3970	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  𝒫 cpw 4541  WUnicwun 10124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rab 3149  df-v 3498  df-in 3945  df-ss 3954  df-pw 4543  df-uni 4841  df-tr 5175  df-wun 10126

This theorem is referenced by:  wunin  10137  wundif  10138  wunint  10139  wun0  10142  wunom  10144  wunxp  10148  wunpm  10149  wunmap  10150  wundm  10152  wunrn  10153  wuncnv  10154  wunres  10155  wunfv  10156  wunco  10157  wuntpos  10158  wuncn  10594  wunndx  16506  wunstr  16509  wunfunc  17171