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Definition df-inp 7242
Description: Define the set of positive reals. A "Dedekind cut" is a partition of the positive rational numbers into two classes such that all the numbers of one class are less than all the numbers of the other.

Here we follow the definition of a Dedekind cut from Definition 11.2.1 of [HoTT], p. (varies) with the one exception that we define it over positive rational numbers rather than all rational numbers.

A Dedekind cut is an ordered pair of a lower set  l and an upper set  u which is inhabited ( E. q  e. 
Q. q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q. r  e.  u), rounded ( A. q  e.  Q. ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q. ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) ) and likewise for  u), disjoint ( A. q  e. 
Q. -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )) and located ( A. q  e. 
Q. A. r  e.  Q. ( q  <Q  r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u
) )). See HoTT for more discussion of those terms and different ways of defining Dedekind cuts.

(Note: This is a "temporary" definition used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction.) (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.)

Assertion
Ref Expression
df-inp  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
Distinct variable group:    u, l, q, r

Detailed syntax breakdown of Definition df-inp
StepHypRef Expression
1 cnp 7067 . 2  class  P.
2 vl . . . . . . . 8  setvar  l
32cv 1315 . . . . . . 7  class  l
4 cnq 7056 . . . . . . 7  class  Q.
53, 4wss 3041 . . . . . 6  wff  l  C_  Q.
6 vu . . . . . . . 8  setvar  u
76cv 1315 . . . . . . 7  class  u
87, 4wss 3041 . . . . . 6  wff  u  C_  Q.
95, 8wa 103 . . . . 5  wff  ( l 
C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )
10 vq . . . . . . . 8  setvar  q
1110, 2wel 1466 . . . . . . 7  wff  q  e.  l
1211, 10, 4wrex 2394 . . . . . 6  wff  E. q  e.  Q.  q  e.  l
13 vr . . . . . . . 8  setvar  r
1413, 6wel 1466 . . . . . . 7  wff  r  e.  u
1514, 13, 4wrex 2394 . . . . . 6  wff  E. r  e.  Q.  r  e.  u
1612, 15wa 103 . . . . 5  wff  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u
)
179, 16wa 103 . . . 4  wff  ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )
1810cv 1315 . . . . . . . . . . 11  class  q
1913cv 1315 . . . . . . . . . . 11  class  r
20 cltq 7061 . . . . . . . . . . 11  class  <Q
2118, 19, 20wbr 3899 . . . . . . . . . 10  wff  q  <Q 
r
2213, 2wel 1466 . . . . . . . . . 10  wff  r  e.  l
2321, 22wa 103 . . . . . . . . 9  wff  ( q 
<Q  r  /\  r  e.  l )
2423, 13, 4wrex 2394 . . . . . . . 8  wff  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l )
2511, 24wb 104 . . . . . . 7  wff  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l ) )
2625, 10, 4wral 2393 . . . . . 6  wff  A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )
2710, 6wel 1466 . . . . . . . . . 10  wff  q  e.  u
2821, 27wa 103 . . . . . . . . 9  wff  ( q 
<Q  r  /\  q  e.  u )
2928, 10, 4wrex 2394 . . . . . . . 8  wff  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u )
3014, 29wb 104 . . . . . . 7  wff  ( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) )
3130, 13, 4wral 2393 . . . . . 6  wff  A. r  e.  Q.  ( r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  q  e.  u
) )
3226, 31wa 103 . . . . 5  wff  ( A. q  e.  Q.  (
q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  r  e.  l ) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )
3311, 27wa 103 . . . . . . 7  wff  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )
3433wn 3 . . . . . 6  wff  -.  (
q  e.  l  /\  q  e.  u )
3534, 10, 4wral 2393 . . . . 5  wff  A. q  e.  Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )
3611, 14wo 682 . . . . . . . 8  wff  ( q  e.  l  \/  r  e.  u )
3721, 36wi 4 . . . . . . 7  wff  ( q 
<Q  r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
3837, 13, 4wral 2393 . . . . . 6  wff  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
3938, 10, 4wral 2393 . . . . 5  wff  A. q  e.  Q.  A. r  e. 
Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) )
4032, 35, 39w3a 947 . . . 4  wff  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) )
4117, 40wa 103 . . 3  wff  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e. 
Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )
4241, 2, 6copab 3958 . 2  class  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
431, 42wceq 1316 1  wff  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
This definition is referenced by:  npsspw  7247  elinp  7250
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