Theorem nq02m 7427

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	|- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7404	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
2		2onn 6500	. . . . . . 7 |- 2o e. om
3		1pi 7277	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
4		mulnnnq0 7412	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2o e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 434	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
6		nn2m 6506	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
7	6	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
8		pinn 7271	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. N. -> w e. om )
9		1onn 6499	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
10		nnmcom 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ w e. om ) -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
11	9, 10	mpan 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
12		nnm1 6504	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
13	11, 12	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = w )
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> ( 1o .o w ) = w )
15	14	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 1o .o w ) = w )
16	7, 15	opeq12d 3773	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. = <. ( z +o z ) , w >. )
17	16	eceq1d 6549	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 )
18		nnanq0 7420	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
19	18	3anidm12 1290	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
20	5, 17, 19	3eqtrd 2207	. . . . 5 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
21	20	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
22		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
23		id 19	. . . . . . 7 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> A = [ <. z , w >. ] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5871	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 A ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
25	22, 24	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
26	25	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
27	21, 26	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
28	27	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
29	1, 28	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   ~_Q0 ceq0 7248  Q₀cnq0 7249   +_Q0 cplq0 7251   ·_Q0 cmq0 7252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389  df-mq0 7390

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7464