Theorem nq02m 7464

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	|- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7441	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
2		2onn 6522	. . . . . . 7 |- 2o e. om
3		1pi 7314	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
4		mulnnnq0 7449	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2o e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
6		nn2m 6528	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
8		pinn 7308	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. N. -> w e. om )
9		1onn 6521	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
10		nnmcom 6490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ w e. om ) -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
12		nnm1 6526	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
13	11, 12	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = w )
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> ( 1o .o w ) = w )
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 1o .o w ) = w )
16	7, 15	opeq12d 3787	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. = <. ( z +o z ) , w >. )
17	16	eceq1d 6571	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 )
18		nnanq0 7457	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
19	18	3anidm12 1295	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
20	5, 17, 19	3eqtrd 2214	. . . . 5 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
22		oveq2 5883	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
23		id 19	. . . . . . 7 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> A = [ <. z , w >. ] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5893	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 A ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
25	22, 24	eqeq12d 2192	. . . . 5 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
28	27	exlimivv 1896	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
29	1, 28	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3596   omcom 4590  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   +o coa 6414   .o comu 6415   [cec 6533   N.cnpi 7271   ~_Q0 ceq0 7285  Q₀cnq0 7286   +_Q0 cplq0 7288   ·_Q0 cmq0 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-plq0 7426  df-mq0 7427

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7501