Theorem nq02m 7822

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	|- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7799	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
2		2onn 6784	. . . . . . 7 |- 2o e. om
3		1pi 7672	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
4		mulnnnq0 7807	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2o e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 440	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
6		nn2m 6790	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
8		pinn 7666	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. N. -> w e. om )
9		1onn 6783	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
10		nnmcom 6752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ w e. om ) -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
11	9, 10	mpan 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
12		nnm1 6788	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
13	11, 12	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = w )
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> ( 1o .o w ) = w )
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 1o .o w ) = w )
16	7, 15	opeq12d 3907	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. = <. ( z +o z ) , w >. )
17	16	eceq1d 6833	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 )
18		nnanq0 7815	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
19	18	3anidm12 1336	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
20	5, 17, 19	3eqtrd 2275	. . . . 5 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
22		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
23		id 19	. . . . . . 7 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> A = [ <. z , w >. ] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 A ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
25	22, 24	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
28	27	exlimivv 1952	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
29	1, 28	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3708   omcom 4732  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   +o coa 6674   .o comu 6675   [cec 6795   N.cnpi 7629   ~_Q0 ceq0 7643  Q₀cnq0 7644   +_Q0 cplq0 7646   ·_Q0 cmq0 7647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-plq0 7784  df-mq0 7785

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7859