Theorem nq02m 7648

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	|- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7625	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
2		2onn 6665	. . . . . . 7 |- 2o e. om
3		1pi 7498	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
4		mulnnnq0 7633	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2o e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
6		nn2m 6671	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
8		pinn 7492	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. N. -> w e. om )
9		1onn 6664	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
10		nnmcom 6633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ w e. om ) -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
12		nnm1 6669	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
13	11, 12	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = w )
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> ( 1o .o w ) = w )
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 1o .o w ) = w )
16	7, 15	opeq12d 3864	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. = <. ( z +o z ) , w >. )
17	16	eceq1d 6714	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 )
18		nnanq0 7641	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
19	18	3anidm12 1329	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
20	5, 17, 19	3eqtrd 2266	. . . . 5 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
22		oveq2 6008	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
23		id 19	. . . . . . 7 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> A = [ <. z , w >. ] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 6018	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 A ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
25	22, 24	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
28	27	exlimivv 1943	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
29	1, 28	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   omcom 4681  (class class class)co 6000   1oc1o 6553   2oc2o 6554   +o coa 6557   .o comu 6558   [cec 6676   N.cnpi 7455   ~_Q0 ceq0 7469  Q₀cnq0 7470   +_Q0 cplq0 7472   ·_Q0 cmq0 7473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-mi 7489  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-plq0 7610  df-mq0 7611

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7685