ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m Unicode version

Theorem nq02m 7014
Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m  |-  ( A  e. Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6991 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. z E. w
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2 2onn 6270 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
3 1pi 6864 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
4 mulnnnq0 6999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w
) >. ] ~Q0  )
52, 3, 4mpanl12 427 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w ) >. ] ~Q0  )
6 nn2m 6275 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( 2o  .o  z )  =  ( z  +o  z
) )
76adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( 2o  .o  z
)  =  ( z  +o  z ) )
8 pinn 6858 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
9 1onn 6269 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
10 nnmcom 6242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( 1o  .o  w
)  =  ( w  .o  1o ) )
119, 10mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  ( 1o  .o  w )  =  ( w  .o  1o ) )
12 nnm1 6273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  .o  1o )  =  w )
1311, 12eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  ( 1o  .o  w )  =  w )
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  N.  ->  ( 1o  .o  w )  =  w )
1514adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( 1o  .o  w
)  =  w )
167, 15opeq12d 3628 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  -> 
<. ( 2o  .o  z
) ,  ( 1o 
.o  w ) >.  =  <. ( z  +o  z ) ,  w >. )
1716eceq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( 2o  .o  z ) ,  ( 1o  .o  w )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  )
18 nnanq0 7007 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
19183anidm12 1231 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  [ <. ( z  +o  z ) ,  w >. ] ~Q0  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
205, 17, 193eqtrd 2124 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2120adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
22 oveq2 5652 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
23 id 19 . . . . . . 7  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
2423, 23oveq12d 5662 . . . . . 6  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( A +Q0  A )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
2522, 24eqeq12d 2102 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ->  ( ( [
<. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  =  ( A +Q0  A )  <->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) ) )
2625adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A )  <->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) ) )
2721, 26mpbird 165 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
2827exlimivv 1824 . 2  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  A  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
291, 28syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( A +Q0  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   <.cop 3447   omcom 4403  (class class class)co 5644   1oc1o 6166   2oc2o 6167    +o coa 6170    .o comu 6171   [cec 6280   N.cnpi 6821   ~Q0 ceq0 6835  Q0cnq0 6836   +Q0 cplq0 6838   ·Q0 cmq0 6839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-mi 6855  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-plq0 6976  df-mq0 6977
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7051
  Copyright terms: Public domain W3C validator