Theorem nq02m 7577

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	|- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7554	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
2		2onn 6606	. . . . . . 7 |- 2o e. om
3		1pi 7427	. . . . . . 7 |- 1o e. N.
4		mulnnnq0 7562	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2o e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 )
6		nn2m 6612	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 2o .o z ) = ( z +o z ) )
8		pinn 7421	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. N. -> w e. om )
9		1onn 6605	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
10		nnmcom 6574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ w e. om ) -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = ( w .o 1o ) )
12		nnm1 6610	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
13	11, 12	eqtrd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( 1o .o w ) = w )
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> ( 1o .o w ) = w )
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( 1o .o w ) = w )
16	7, 15	opeq12d 3826	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. = <. ( z +o z ) , w >. )
17	16	eceq1d 6655	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( 2o .o z ) , ( 1o .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 )
18		nnanq0 7570	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
19	18	3anidm12 1307	. . . . . 6 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> [ <. ( z +o z ) , w >. ] ~Q0 = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
20	5, 17, 19	3eqtrd 2241	. . . . 5 |- ( ( z e. om /\ w e. N. ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
22		oveq2 5951	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
23		id 19	. . . . . . 7 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> A = [ <. z , w >. ] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5961	. . . . . 6 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 A ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
25	22, 24	eqeq12d 2219	. . . . 5 |- ( A = [ <. z , w >. ] ~Q0 -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
26	25	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) <-> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
28	27	exlimivv 1919	. 2 |- ( E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ A = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )
29	1, 28	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( [ <. 2o , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( A +Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   <.cop 3635   omcom 4637  (class class class)co 5943   1oc1o 6494   2oc2o 6495   +o coa 6498   .o comu 6499   [cec 6617   N.cnpi 7384   ~_Q0 ceq0 7398  Q₀cnq0 7399   +_Q0 cplq0 7401   ·_Q0 cmq0 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-mi 7418  df-enq0 7536  df-nq0 7537  df-plq0 7539  df-mq0 7540

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7614