ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npsspw Unicode version

Theorem npsspw 7227
Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
npsspw  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw
Dummy variables  u  l  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 501 . . . 4  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  C_ 
Q.  /\  u  C_  Q. ) )
2 selpw 3483 . . . . 5  |-  ( l  e.  ~P Q.  <->  l  C_  Q. )
3 selpw 3483 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P Q.  <->  u  C_  Q. )
42, 3anbi12i 453 . . . 4  |-  ( ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) 
<->  ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )
)
51, 4sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) )
65ssopab2i 4159 . 2  |-  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }  C_  { <. l ,  u >.  |  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
7 df-inp 7222 . 2  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
8 df-xp 4505 . 2  |-  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )  =  { <. l ,  u >.  |  (
l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
96, 7, 83sstr4i 3104 1  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945    e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391    C_ wss 3037   ~Pcpw 3476   class class class wbr 3895   {copab 3948    X. cxp 4497   Q.cnq 7036    <Q cltq 7041   P.cnp 7047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-opab 3950  df-xp 4505  df-inp 7222
This theorem is referenced by:  preqlu  7228  npex  7229  elinp  7230  prop  7231  elnp1st2nd  7232  cauappcvgprlemladd  7414
  Copyright terms: Public domain W3C validator