ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npsspw Unicode version

Theorem npsspw 7505
Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
npsspw  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw
Dummy variables  u  l  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  C_ 
Q.  /\  u  C_  Q. ) )
2 velpw 3600 . . . . 5  |-  ( l  e.  ~P Q.  <->  l  C_  Q. )
3 velpw 3600 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~P Q.  <->  u  C_  Q. )
42, 3anbi12i 460 . . . 4  |-  ( ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) 
<->  ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )
)
51, 4sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) )  ->  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) )
65ssopab2i 4298 . 2  |-  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_  Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e. 
Q.  r  e.  u
) )  /\  (
( A. q  e. 
Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }  C_  { <. l ,  u >.  |  ( l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
7 df-inp 7500 . 2  |-  P.  =  { <. l ,  u >.  |  ( ( ( l  C_  Q.  /\  u  C_ 
Q. )  /\  ( E. q  e.  Q.  q  e.  l  /\  E. r  e.  Q.  r  e.  u ) )  /\  ( ( A. q  e.  Q.  ( q  e.  l  <->  E. r  e.  Q.  ( q  <Q  r  /\  r  e.  l
) )  /\  A. r  e.  Q.  (
r  e.  u  <->  E. q  e.  Q.  ( q  <Q 
r  /\  q  e.  u ) ) )  /\  A. q  e. 
Q.  -.  ( q  e.  l  /\  q  e.  u )  /\  A. q  e.  Q.  A. r  e.  Q.  ( q  <Q 
r  ->  ( q  e.  l  \/  r  e.  u ) ) ) ) }
8 df-xp 4653 . 2  |-  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )  =  { <. l ,  u >.  |  (
l  e.  ~P Q.  /\  u  e.  ~P Q. ) }
96, 7, 83sstr4i 3211 1  |-  P.  C_  ( ~P Q.  X.  ~P Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 980    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3144   ~Pcpw 3593   class class class wbr 4021   {copab 4081    X. cxp 4645   Q.cnq 7314    <Q cltq 7319   P.cnp 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-opab 4083  df-xp 4653  df-inp 7500
This theorem is referenced by:  preqlu  7506  npex  7507  elinp  7508  prop  7509  elnp1st2nd  7510  cauappcvgprlemladd  7692
  Copyright terms: Public domain W3C validator