Theorem npsspw 7505

Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
npsspw	|- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw

Dummy variables u l q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
2		velpw 3600	. . . . 5 |- ( l e. ~P Q. <-> l C_ Q. )
3		velpw 3600	. . . . 5 |- ( u e. ~P Q. <-> u C_ Q. )
4	2, 3	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) <-> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
5	1, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) )
6	5	ssopab2i 4298	. 2 |- { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) } C_ { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
7		df-inp 7500	. 2 |- P. = { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) }
8		df-xp 4653	. 2 |- ( ~P Q. X. ~P Q. ) = { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
9	6, 7, 8	3sstr4i 3211	1 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   ~Pcpw 3593   class class class wbr 4021   {copab 4081   X. cxp 4645   Q.cnq 7314   <Q cltq 7319   P.cnp 7325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-opab 4083  df-xp 4653  df-inp 7500

This theorem is referenced by:  preqlu  7506  npex  7507  elinp  7508  prop  7509  elnp1st2nd  7510  cauappcvgprlemladd  7692