Theorem npsspw 7788

Description: Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
npsspw	|- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Proof of Theorem npsspw

Dummy variables u l q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
2		velpw 3678	. . . . 5 |- ( l e. ~P Q. <-> l C_ Q. )
3		velpw 3678	. . . . 5 |- ( u e. ~P Q. <-> u C_ Q. )
4	2, 3	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) <-> ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) )
5	1, 4	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) -> ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) )
6	5	ssopab2i 4398	. 2 |- { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) } C_ { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
7		df-inp 7783	. 2 |- P. = { <. l , u >. | ( ( ( l C_ Q. /\ u C_ Q. ) /\ ( E. q e. Q. q e. l /\ E. r e. Q. r e. u ) ) /\ ( ( A. q e. Q. ( q e. l <-> E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. l ) ) /\ A. r e. Q. ( r e. u <-> E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. u ) ) ) /\ A. q e. Q. -. ( q e. l /\ q e. u ) /\ A. q e. Q. A. r e. Q. ( q <Q r -> ( q e. l \/ r e. u ) ) ) ) }
8		df-xp 4757	. 2 |- ( ~P Q. X. ~P Q. ) = { <. l , u >. | ( l e. ~P Q. /\ u e. ~P Q. ) }
9	6, 7, 8	3sstr4i 3281	1 |- P. C_ ( ~P Q. X. ~P Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671   class class class wbr 4111   {copab 4172   X. cxp 4749   Q.cnq 7597   <Q cltq 7602   P.cnp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-opab 4174  df-xp 4757  df-inp 7783

This theorem is referenced by:  preqlu  7789  npex  7790  elinp  7791  prop  7792  elnp1st2nd  7793  cauappcvgprlemladd  7975