HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  df-lnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Definition df-lnfn 31605
Description: Define the set of linear functionals on Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
df-lnfn LinFn = {๐‘ก โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))}
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘ฆ,๐‘ง

Detailed syntax breakdown of Definition df-lnfn
StepHypRef Expression
1 clf 30711 . 2 class LinFn
2 vx . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฅ
32cv 1532 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฅ
4 vy . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ฆ
54cv 1532 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ฆ
6 csm 30678 . . . . . . . . . 10 class ยทโ„Ž
73, 5, 6co 7404 . . . . . . . . 9 class (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)
8 vz . . . . . . . . . 10 setvar ๐‘ง
98cv 1532 . . . . . . . . 9 class ๐‘ง
10 cva 30677 . . . . . . . . 9 class +โ„Ž
117, 9, 10co 7404 . . . . . . . 8 class ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)
12 vt . . . . . . . . 9 setvar ๐‘ก
1312cv 1532 . . . . . . . 8 class ๐‘ก
1411, 13cfv 6536 . . . . . . 7 class (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))
155, 13cfv 6536 . . . . . . . . 9 class (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)
16 cmul 11114 . . . . . . . . 9 class ยท
173, 15, 16co 7404 . . . . . . . 8 class (๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ))
189, 13cfv 6536 . . . . . . . 8 class (๐‘กโ€˜๐‘ง)
19 caddc 11112 . . . . . . . 8 class +
2017, 18, 19co 7404 . . . . . . 7 class ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))
2114, 20wceq 1533 . . . . . 6 wff (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))
22 chba 30676 . . . . . 6 class โ„‹
2321, 8, 22wral 3055 . . . . 5 wff โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))
2423, 4, 22wral 3055 . . . 4 wff โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))
25 cc 11107 . . . 4 class โ„‚
2624, 2, 25wral 3055 . . 3 wff โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))
27 cmap 8819 . . . 4 class โ†‘m
2825, 22, 27co 7404 . . 3 class (โ„‚ โ†‘m โ„‹)
2926, 12, 28crab 3426 . 2 class {๐‘ก โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))}
301, 29wceq 1533 1 wff LinFn = {๐‘ก โˆˆ (โ„‚ โ†‘m โ„‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘กโ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท (๐‘กโ€˜๐‘ฆ)) + (๐‘กโ€˜๐‘ง))}
Colors of variables: wff setvar class
This definition is referenced by:  ellnfn  31640
  Copyright terms: Public domain W3C validator