Theorem ellnfn 31570

Description: Property defining a linear functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ellnfn	⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑇

Proof of Theorem ellnfn

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)))
2		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑦) = (𝑇‘𝑦))
3	2	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 · (𝑡‘𝑦)) = (𝑥 · (𝑇‘𝑦)))
4		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑧) = (𝑇‘𝑧))
5	3, 4	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑥 · (𝑡‘𝑦)) + (𝑡‘𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧)))
6	1, 5	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑡‘𝑦)) + (𝑡‘𝑧)) ↔ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
7	6	ralbidv 3176	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑡‘𝑦)) + (𝑡‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
8	7	2ralbidv 3217	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑡‘𝑦)) + (𝑡‘𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
9		df-lnfn 31535	. . 3 ⊢ LinFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑡‘𝑦)) + (𝑡‘𝑧))}
10	8, 9	elrab2 3686	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
11		cnex 11197	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
12		ax-hilex 30686	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
13	11, 12	elmap 8871	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑇: ℋ⟶ℂ)
14	13	anbi1i 623	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))
15	10, 14	bitri 275	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑇‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (𝑇‘𝑦)) + (𝑇‘𝑧))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11114   + caddc 11119   · cmul 11121   ℋchba 30606   +_ℎ cva 30607   ·_ℎ csm 30608  LinFnclf 30641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-hilex 30686

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-lnfn 31535

This theorem is referenced by:  lnfnf  31571  lnfnl  31618  bralnfn  31635  0lnfn  31672  cnlnadjlem2  31755