Theorem impsingle-step20 1667

Description: Derivation of impsingle-step20 from ax-mp 5 and impsingle 1660. It is used as a lemma in proofs of imim1 84 and peirce 205 from impsingle 1660. It is Step 20 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCCrppCspCCCpqrCsp' using parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
impsingle-step20	⊢ ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))

Proof of Theorem impsingle-step20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impsingle-step19 1666	. 2 ⊢ ((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))
2		impsingle 1660	. . 3 ⊢ (((𝜏 → 𝜁) → 𝜎) → ((𝜎 → 𝜏) → (𝜌 → 𝜏)))
3		impsingle 1660	. . . 4 ⊢ ((((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))))
4		impsingle 1660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜒 → 𝜓) → 𝜏) → ((𝜑 → 𝜓) → 𝜓)) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))
5		impsingle-step8 1662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜏) → ((𝜑 → 𝜓) → 𝜓)) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))
7		impsingle 1660	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → ((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)))
9		impsingle 1660	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))))
11		impsingle 1660	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))) → (((((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))))
13		impsingle 1660	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)))) → (((((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))) → ((((𝜏 → 𝜁) → 𝜎) → ((𝜎 → 𝜏) → (𝜌 → 𝜏))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (((((((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)) → 𝜂) → (((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))) → ((((𝜏 → 𝜁) → 𝜎) → ((𝜎 → 𝜏) → (𝜌 → 𝜏))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))))
15	3, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((((𝜏 → 𝜁) → 𝜎) → ((𝜎 → 𝜏) → (𝜌 → 𝜏))) → (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))))
16	2, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((((𝜒 → 𝜓) → 𝜃) → (𝜑 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))) → ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓))))
17	1, 16	ax-mp 5	1 ⊢ ((((𝜑 → 𝜓) → 𝜓) → (𝜒 → 𝜓)) → (((𝜓 → 𝜃) → 𝜑) → (𝜒 → 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem is used by:  impsingle-step21  1668  impsingle-step25  1670